lineaarvõrrandite

Lineaarvõrrandid on matemaatikas võrrandid, kus tundmatu esineb esimeses astmes ja mille liikmed moodustavad lineaarse kombinatsiooni muutujaist. Ühe muutuja korral on võrrandi üldvorm a x + b = 0 ning mitme muutuja puhul võib tegemist olla süsteemiga, näiteks a1 x + b1 y = c1, a2 x + b2 y = c2, või maatriksivormi A x = b.

Ühe muutuja puhul lahendus on lihtne: kui a ≠ 0, siis x = -b/a. Kui a = 0, sõltub olukord: b = 0 korral on lahendus kõik x, kui b ≠ 0 lahendust pole. Mitme muutuja korral käsitletakse sageli süsteeme. Geomeetriliselt vastavad need võrranditele sirgjoontele, mille lõikumiskoht annab lahendi; kui sirged ei lõiku, lahendust pole; kui nad on sama joon, on lahendusi lõpmatult palju.

Lahendamiseks kasutatakse erinevaid meetodeid. Asendusmeetodis lahendab ühe võrrandi muutuja ja asendab teises; liitmise ehk eliminatsiooni meetodisse kuuluvad võrrandite liitmine, kuni teatud muutuja kõrvaldamiseni, või Gauss’i eliminatsioon. Maatriksivorm A x = b võimaldab kasutada lineaaralgebra vahendeid. Crameri reegel sobib det(A) ≠ 0 korral, pakkudes lahendi determinantide abil.

Lahendushulgas võivad süsteemid olla: unikne lahendus (rank(A) = rank([A|b]) = n), lõpmatult palju lahendusi (rank(A) = rank([A|b]) < n) või lahendus puudub (rank([A|b]) > rank(A)). Lineaarvõrrandid moodustavad aluse lineaaralgele, mille hulka kuuluvad nii üksikvõrrandid kui ka suuremad süsteemid ning neil on laialdased rakendused loodusteadustes, inseneriteadustes, majanduses ja arvutiteaduses.