lineaarisointi

Lineaarisointi (linearisointi) on menetelmä, jolla ei-lineaarinen malli tai järjestelmä esitetään lähestymällä sitä lineaarisella mallilla tietyssä pisteessä. Tällainen lähestymistapa kuvaa, miten pieniä muutoksia syötteisiin tai tiloihin vastataan. Lineaarisointi on keskeinen työkalu analyyttisessä suunnittelussa, simuloinnissa ja ohjauksessa, kun halutaan saada hallittava, ratkaisuja käsittelevä malli.

Matemaattinen perusta: Olkoon f: R^n → R^m, jota tarkastellaan pisteessä x0. Lokalisoidulla linearisoinnilla f(x) ≈ f(x0) + J_f(x0)(x − x0). Tässä J_f(x0) on Jacobian-matriisi, jonka rivit vastaavat osittaisderivaatioita f_i riippuen x. Jos f on skalaari ja n = 1, linearisointi on f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x − x0). Virherajojen mukaan virhe on O(||x − x0||^2) pienellä alueella.

Esimerkki: Olkoon f(x) = x^2 ja x0 = 1. f(1) = 1 ja f′(1) = 2, joten linearisointi on L(x) = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1. Tämä lineaarinen malli kuvaa hyvin f:n käyttäytymisen lähellä x0.

Sovellukset: Linearisointia käytetään dynaamisten järjestelmien analyysissä ja ohjauksessa. Esimerkiksi autonomisessa järjestelmässä dx/dt = f(x) linearisointi pisteessä x0 antaa dξ/dt = Aξ, jossa ξ = x − x0 ja A = ∂f/∂x(x0). Tämä tuottaa lokaalin lineaarisen mallin, jota voidaan käyttää vakauden arviointiin, vasteiden analysointiin sekä lineaariohjauksien suunnitteluun.

Rajoitteet: Linearisointi on lokaali; sen pätevyys pätee pienillä poikkeamilla pisteestä x0. Suuremmat poikkeamat johtavat virheeseen, ja ei-lineaarinen käytös voi olla olennaisesti eriluonteista. Siksi sitä käytetään usein lyhyellä aikajänteellä tai lähellä tasapainopistettä, mahdollisesti täydentäen muita malleja.