osittaisderivaatioita

Osittaisderivaatioita kuvaa, miten funktio f muuttuu, kun vain yhtä muuttujaa muutetaan ja muut pysyvät vakioina. Olkoon f: R^n → R ja a = (a1, ..., an). Osittaisderivaatio ∂f/∂xi(a) määritellään rajoitteisesti: ∂f/∂xi(a) = lim_{h→0} [f(a1, ..., ai-1, ai + h, ai+1, ..., an) − f(a1, ..., an)] / h, jos raja on olemassa. Osittaisderivaatioiden koko muodostaa gradientin: ∇f(a) = (∂f/∂x1(a), ..., ∂f/∂xn(a)). Gradienti osoittaa suurimman nousun suunnan ja sitä käytetään muun muassa optimoinnissa sekä herkkyysanalyysissä.

Toisen kertaluvun derivaatat määritellään ottamalla osittaisderivaatioita uudelleen peräkkäin. Esimerkiksi ∂^2 f/∂xi∂xj on osittaisderivaatio, jonka arvo saadaan ottamalla ensin osittaisderivaatio xi:n suhteen ja sitten xj:n suhteen. Jos f on C^2-säädetty, eli toiset osittaisderivaatio ovat jatkuvia, niin ∂^2 f/∂xi∂xj = ∂^2 f/∂xj∂xi (Schwarzin teoreema). Hessian-matriisi Hf(a) muodostuu näistä toisen kertaluvun derivaatioista ja kuvaa funktion toisen kertaluvun käyttäytymistä.

Esimerkki: f(x,y) = x^2 y. ∂f/∂x = 2xy, ∂f/∂y = x^2. Toisen kertaluvun osittaisderivaatioita: ∂^2 f/∂x^2 = 2y, ∂^2 f/∂y^2 = 0, ∂^2 f/∂x∂y = ∂^2 f/∂y∂x = 2x.

Sovelluksia ovat optimointi, fysiikka, taloustiede sekä koneoppiminen, joissa osittaisderivaatioita käytetään mallien herkkyyden arviointiin, nopeaan paikallistukseen ja Taylorin lauseiden toteuttamiseen monimuuttujaisessa kontekstissa. Osittaisderivaatioiden käsite on keskeinen osa monimuuttujaista kalkyyliä.