kwantyfikatorami

Kwantyfikatory to operatory logiki, które określają, dla jakich elementów danego zbioru prawdziwy jest pewien predykat. Służą do formułowania zdań o wszystkich elementach domeny lub o wybranych elementach, które spełniają określone warunki. Podstawowymi kwantyfikatorami w logice pierwszego rzędu są kwantyfikator ogólny i kwantyfikator egzystencjalny.

Kwantyfikator ogólny (symbolicznie ∀) i kwantyfikator egzystencjalny (∃) opisują sposób, w jaki predykat zależy od zmiennej. W zapisie logicznym ∀x φ(x) czytamy „dla wszystkich x, φ(x)”, a ∃x φ(x) – „istnieje x takie, że φ(x)”. Zmienna związana kwantyfikatorami nazywana jest zmienną kwantyfikowaną i posiada zakres (scope), czyli fragment formuły, na który dany kwantyfikator ma wpływ.

Przykład: ∀x (Student(x) → ∃y (Nauczyciel(y) ∧ Uczy(y, x))) oznacza, że każdy student ma nauczyciela, który go uczy. Kwantyfikatory mogą być łączone i ich kolejność ma znaczenie, np. ∀x ∃y φ(x,y) różni się od ∃y ∀x φ(x,y). Negacje wprowadzają dalsze równoważności: ¬∀x φ(x) ≡ ∃x ¬φ(x) i ¬∃x φ(x) ≡ ∀x ¬φ(x).

Znaczenie: kwantyfikatory są podstawowym narzędziem formalizacji zdań matematycznych, logicznych i informatycznych. Pozwalają odwzorować naturalne sformułowania na precyzyjne formuły, analizować ich prawdziwość i prowadzić operacje takie jak dowód czy uproszczenie.