kustannusfunktioon

Kustannusfunktio on matemaattinen funktio, joka antaa kustannuksen tai tappion tietystä päätöksestä, tuotoksesta tai mallin arvosta. Se on keskeinen käsite sekä optimoinnissa että tilastollisessa estimoinnissa: sen arvo mittaa, kuinka ”kalliiksi” tietty ratkaisu tai tilanne tulee, ja sitä pyritään usein pienentämään.

Matemaattisesti kustannusfunktio C voidaan määritellä kohdeavaruuden X → R+, missä X on päätösten tai mallin parametrien vektori. Funktiojen ominaisuudet vaihtelevat sovelluksesta riippuen, mutta yleisiä toiveita ovat jatkuvuus, differentiabiliteetti ja erityisesti konveksisuus, koska konveksinen kustannusfunktio helpottaa globaalin minimin löytämistä monen optimointialgoritmin avulla. Joskus korostetaan myös monotoneisuutta tai kohtuullisuutta kustannusten kasvaessa.

Esimerkkejä kustannusfunktioista ovat: neliöllinen virheriski, jossa C(θ) = sum_i (y_i − f_θ(x_i))^2; absoluuttinen virhe, C(θ) = sum_i |y_i − f_θ(x_i)|; sekä logistinen tai ristikkäisen entropian tappio, joita käytetään luokitusmalleissa. Taloustieteessä voidaan puhua kokonaiskustannusfunktiosta C(Q) tuotannossa, jossa C(Q) = FC + VC(Q) koostuu kiinteistä ja muuttuvista kustannuksista. Marginaalikustannus MC = dC/dQ kuvaa kustannuksen lisäystä tuotteen yhdestä lisäyksestä.

Käytännössä kustannusfunktiota käytetään minimointiin: etsitään päätös tai parametriarvo, joka tuottaa pienimmän mahdollisen kustannuksen. Tämä kuvaa sen roolia sekä optimoinnin että koneoppimisen koulutuksen tavoitteenasettelussa.