monotoneisuutta

Monotoneisuus on käsite, jota käytetään matematiikassa kuvaamaan järjestyksen säilymistä tai sen säilyttämättömyyttä. Sen perusidea on, että jos joukko tai yleisö on järjestetty, monotoniikka tarkastelee, säilyttääkö jokin muutos tai kuvaus alkuperäisen järjestyksen.

Monotoninen funktio tarkoittaa, että x ja y kuuluvat samaan domeeni ja x ≤ y johtaa f(x) ≤ f(y). Jos tämä pätee kaikille x < y, puhutaan tiukasti monotonisesta funktiosta. Koodikielellä voidaan sanoa: kasvava tai ei-supistunut (monotonisesti kasvava) sekä laskeva tai ei-nouseva (monotonisesti laskeva). Esimerkkejä: f(x) = x on monotonisesti kasvava, f(x) = e^x on tiukasti kasvava, ja f(x) = -x on monotonisesti laskeva.

Myös jonoja tutkitaan monotoneina. Jono a_n on monotonisesti kasvava, jos a_n ≤ a_{n+1} kaikkialla, ja monotonisesti laskeva, jos a_n ≥ a_{n+1}. Monotonius liittyy usein rajoittuneisuuteen: kasvava jono, joka on ylärajoitettu, konvergoituu sup-arvoonsa. Tämä on tärkeä tulos, jota käytetään analyysissä ja otetaan usein mukaan monotoneine konvergenssiteoreemoineen.

Ominaisuuksiltaan monotoneiset funktiot ovat yleensä kuitenkin rajoitetut epäjatkuvuudet, ja ne omistavat oikea- ja vasenrajat millekään pistettä kohti. Monotoneisuus ja monotoneiset mapit liittyvät myös järjestysten säilyttävän rakenteen tutkimukseen sekä päätöksentekoon liittyviin järjestelmiin.

Monotoneisuudella on useita sovelluksia analyysissä, yhdistelmätieteissä ja teorian osana, missä järjestys ja sen säilyminen ovat keskeisiä.