kovariansfunktion

Kovariansfunktionen er en funktion, der beskriver kovariansen mellem værdier af en stokastisk proces ved to tidspunkter eller placeringer: Cov(X(s), X(t)). For en stationær proces afhænger kovariansfunktionen kun af forskydningen h = t − s og skrives ofte som C(h). Den er symmetrisk, C(−h) = C(h), og C(0) = Var(X).

Egenskaberne ved en kovariansfunktion inkluderer positiv semidefinithed: for enhver mængde af tidspunkter t1, ..., tn bliver madricen [C(ti − tj)] PSD. Ifølge Bochner-teoremet kan en kontinuert stationær kovariansfunktion udtrykkes som C(h) = ∫ e^{i h ω} dF(ω), hvor F er en ikke-negativ distributionsmåling (eller en densitet hvis den eksisterer). Dette giver en forbindelse til dets spektrale tætheder og frekvensindhold.

Der findes flere velkendte familier af kovariansfunktioner. Eksempelvis er den eksponentielle kovariansfunktion C(h) = σ^2 exp(−|h|/l), som tilhører OU-processen og har glathed afhængig af l. Den kolde (gaussiske) eller kvadrerede eksponentielle form C(h) = σ^2 exp(−h^2/(2l^2)) bruges i mange anvendelser. Matérn-familien C(h) = σ^2 (2^{1−ν}/Γ(ν)) (√(2ν) h / l)^ν K_ν(√(2ν) h / l) giver justerbar glathed via parameteren ν.

Anvendelserne spænder bredt: i Gaussian-processer og kernelmetoder i maskinlæring, i geostatistik (kriging), og i tids- og rumlige modeller. Parameterestimationsproblemer inkluderer at bestemme længde- og smidighedsparametre gennem maksimumlikelihood eller metodetræk. Kovariansfunktionen udgør kernen i, hvordan afhængigheder mellem forskellige observationer beskrives og bruges til prædiktion og inferens. Sammenlignet med variogram i geostatistik beskriver kovariansfunktionen samtidig gevinst og underskud i relation til variansen.