kovarianciához

Kovariancia a két véletlen változó közös variációjának erősségét és irányát méri. Ha X és Y a véletlen változók, μ_X és μ_Y a várható értékeik, a population kovariancia Cov(X,Y) = E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)]. A kovariancia pozitív érték esetén a változók általában egyirányban mozognak, negatív érték esetén ellentétes irányban. Ha a változók függetlenek, Cov(X,Y) = 0, de a kovariancia nullája nem feltétlen jelenti a függetlenséget.

Ha mindkét változó várható értéke nulla, Cov(X,Y) = E[XY]. A kovariancia egyenlő a korrelációval, ha a változók szórásait elosztjuk: Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X σ_Y), ahol σ_X és σ_Y a varianciák gyökei. A kovariancia nem standardizált mérték, ezért mérete a változók egységeinek szorzata függvénye.

Tulajdonságok közé tartozik, hogy ha a változókat lineárisan átalakítjuk, Cov(aX+c, bY+d) = ab Cov(X,Y); Cov(X,Y) szimmetrikus, azaz Cov(X,Y) = Cov(Y,X). A kovariancia a lineáris transzformációk alatt skálázódik.

Mintavételi becslésként a kiszámított s_xy = (1/(n-1)) sum_{i=1}^n (x_i - x̄)(y_i - ȳ) használható. A vektoros esetben a kovariancia-mátrix Cov(X) = E[(X-μ)(X-μ)^T] szimmetrikus, fél-pozitív szemidefinite, és a diagonálon a varianciák, a kereszttagok a közös variációt jelzik.

Alkalmazások: regresszió, többváltozós statisztika, főkomponens-analízis, pénzügyi portfóliók és kockázatkezelés. Lehetőséget ad a lineáris kapcsolatok vizsgálatára, de csak ezekre kiterjedően értelmezhető; a zero kovariancia nem feltétlen függetlenséget jelent.