koordinaattimuunnoksista

Koordinaattimuunnokset ovat prosesseja, joissa pisteet tai objektit esitetään eri koordinaatistossa samalla paikalla. Niitä käytetään matematiikassa, kartografiassa, tietokonegrafiikassa ja robotiikassa. Muunnokset voidaan jäsentää perusvaihtoehtoihin, kuten siirtoihin, kiertoihin ja mittasuhteen muutoksiin, sekä yleisempiin affiinisiin ja projektioihin.

Perusmuunnokset ja koostamiset. 2D- ja 3D-asetuksissa muunnokset voivat olla rotaatioita, siirtoja ja skaalausmuunnoksia. Esimerkiksi 2D-rotaatio alfa: x' = x cos α − y sin α, y' = x sin α + y cos α. Siirto: x' = x + t_x, y' = y + t_y. Affiini muunnos voidaan kirjoittaa muodossa x' = a11 x + a12 y + t_x, y' = a21 x + a22 y + t_y. Homogeenisissa koordinaateissa muunnos esitetään 3x3-matriisina.

Polar- ja pallokoordinaatistojen muunnokset ovat yleisiä. Cartesianista polar: r = sqrt(x^2 + y^2), θ = atan2(y, x). Polarista Cartesianiin: x = r cos θ, y = r sin θ. Kolmiulotteisessa tilassa vastaavat muunnokset ovat kartesiasta sfääriin tai pallokoordinaatteihin: x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ. Konventiot kulmille φ ja θ voivat vaihdella, joten käytetty määritelmä on tärkeä.

Sovellukset. Koordinaattimuunnoksia käytetään karttojen projektoimisessa, paikkatiedon käsittelyssä, robotiikassa, tietokonegrafiikassa ja fysiikassa. Ne ovat myös perusta muuttujien ja mittausten tulkinnalle eri koordinaatistoissa sekä ymmärryksessä siitä, miten muunnokset vaikuttavat etäisyyksiin ja kulmiin.