koordinaatistopohjaa

Koordinaatistopohja on lineaarialgebran käsitteistö, jonka avulla vektorit ilmaistaan koordinaatteina suhteessa johonkin valittuun perusjoukkoon eli pohjaan. Pohja koostuu perusvektoreista b1, ..., bn, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia ja joiden lineaarikombinaatiot kattavat koko vektoritilan. Jokainen vektori v voidaan kirjoittaa uniikisti v = a1 b1 + ... + an bn, jolloin koordinaatit a1, ..., an muodostavat v:n koordinaattikuvan pohjaan nähden.

Esimerkkinä voidaan ajatella R^n: standardipohja e1, ..., en, jossa kukin e_i on 1 kohdassa i ja 0 muissa kohdissa. Mikä tahansa toinen pohja B' = {b1', ..., bn'} antaa toisen tavan esittää samat vektorit: v = x_1' b1' + ... + x_n' bn', ja siten koordinaatit x' = (x_1', ..., x_n') ovat v:n koordinaatit pohjan B' suhteen.

Muunnos koordinaattien välillä tapahtuu käyttämällä matriisia, jonka sarakkeet ovat uuden pohjan vektoreiden koordinaatit vanhassa standardimuodossa. Olkoon B ja B' pahoiksi nimityksiä vanha ja uusi pohja, joilla on sarakkeina standardikoordinaatit b1, ..., bn sekä b1', ..., bn'. Tällöin v = B x_B = B' x_B', ja koordinaatit liittyvät toisiinsa kaavalla x_B' = (B')^{-1} B x_B. Näin erilaiset pohjat antavat erilaiset koordinaatit saman vektorin.

Ammatillisesti koordinaatistopohja liittyy suoraan koordinaattijärjestelmien valintaan ja lineaarin muunnosten yksinkertaistamiseen. Pohjan valinta vaikuttaa vektoreiden esitystavan lisäksi lineaarisissa transformaatiouksissa sekä diagonaalisoimisessa ja muutoksissa, jotka helpottavat laskutoimituksia. Lisäaiheisiin kuuluvat dioagoitu pohja sekä kaksinkertainen ja dualinen pohja.