konvolúciótételt

A konvolúciótétel a jel- és rendszertelméletben, valamint a valószínűségszámításban alapvető fontosságú tétel. Két fő formája létezik: az egyik a valós idejű (idő- vagy térbeli) jelekre, a másik a frekvenciatartományban dolgozókra vonatkozik.

Az egyik megfogalmazás szerint két függvény konvolúciója megegyezik azok Fourier-transzformáltjainak szorzatának inverz Fourier-transzformáltjával. Fordítva, két függvény Fourier-transzformáltjának szorzata megegyezik azok konvolúciójának Fourier-transzformáltjával. Ezt a tételt széles körben alkalmazzák szűrők tervezésében, rendszerek elemzésében és jelfeldolgozásban, mivel megkönnyíti a komplex konvolúciós műveletek frekvenciatartománybeli szorzattá alakítását, ami gyakran számításilag egyszerűbb.

A valószínűségszámításban a konvolúciótétel azt mondja ki, hogy két független valószínűségi változó összegének eloszlása megegyezik az egyes eloszlások konvolúciójával. Ha például X és Y két független, folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f és g, akkor az X+Y összeg sűrűségfüggvénye a f és g konvolúciója. Hasonló tétel érvényes diszkrét valószínűségi változókra is, ahol a konvolúció összegezésként jelenik meg. Ez a tétel elengedhetetlen az összetett eloszlások elemzéséhez és szimulációkhoz.