konvolúciótétel

A konvolúciótétel a jel- és rendszertelméletben, valamint a valószínűségszámításban használt fontos matematikai tétel. Alapvetően azt mondja ki, hogy két függvény konvolúciójának Fourier-transzformáltja megegyezik a két függvény Fourier-transzformáltjának szorzatával. Ezt a tételt más transzformáltakra is kiterjeszthetjük, például Laplace-transzformáltra.

Matematikailag, ha $f(t)$ és $g(t)$ két függvény, és jelöljük a Fourier-transzformáltjukat $F(\omega)$ és $G(\omega)$-val, akkor a konvolúciótétel a következőképpen fogalmazható meg:

$\mathcal{F}\{(f*g)(t)\} = F(\omega)G(\omega)$

ahol $(f*g)(t)$ jelöli $f(t)$ és $g(t)$ konvolúcióját, ami definíció szerint:

$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau$

A konvolúciótételnek számos gyakorlati alkalmazása van. A jelfeldolgozásban például lehetővé teszi, hogy egy szűrő hatását a bemeneti jelre konvolúcióval számítsuk ki, és ennek Fourier-transzformáltja a szűrő átviteli függvénye és a jel Fourier-transzformáltjának szorzata. Ez megkönnyíti a rendszerek elemzését és tervezését, különösen frekvenciatartományban. A valószínűségszámításban a tétel azt állítja, hogy két független valószínűségi változó összegének eloszlása megegyezik az egyes eloszlások konvolúciójával.