konformaalisuus

Konformaalisuus tarkoittaa kartoituksia, jotka säilyttävät kulmat paikallisesti. Matematiikassa, erityisesti kompleksianalyysissä, konformaalinen kartoitus on f: U → C, missä U on avoin joukko, ja se säilyttää kulmat kahden käyrän leikkauspisteessä. Tämä tarkoittaa, että pienissä naapurustokerroksissa kuviot ovat muodoltaan samanlaisia, vaikka mittasuhteet voivat muuttua.

Keskeinen tulos on, että jos f on holomorfinen ja sen derivaatta ei ole nolla jokaisessa pisteessä, eli f′(z) ≠ 0 kaikilla z ∈ U, niin f on konformaalinen U:ssa. Tällöin differentiaalin df_z vaikutus on paikallinen skaalain, ja kulmat säilyvät. Toisin sanoen f muuntaa pienet, pyöreät ympyrät muotoisiksi ellipsiksi, joiden suurus on annettu |f′(z)|.

Esimerkkejä: Möbius-muunnokset z ↦ (az + b)/(cz + d) ovat konformaalisia koko laajennetulla kompleksitasolla; z^n on konformaalinen kaikkialla paitsi z = 0; eksponentiaalinen mappeeraus exp on konformaalinen siinä missä se on määritelty. Yleisesti monet holomorfiset funktiot ovat konformaalisia paikoissa, joissa f′ ≠ 0.

Laajennuksena konformaalisuus voidaan määritellä myös korkeampiin ulottuvuuksiin, eli R^n:ssä n ≥ 3. Siellä Liouville-teoreeman mukaan kaikki riittävän sileät konformaaliset kartoitukset ovat koostumia inversioista ja otoksista, kun taas kaksidimensioisessa tapauksessa konformaalisuus on paljon rikkaampaa ja liittyy vahvasti holomorfiseen funktioituun.

Sovellukset: konformaalisuus on keskeinen käsite kompleksianalyysissä, kuten Riemannin kartoitusteoreemassa, sekä Teichmüller-teoriassa. Sillä on merkitystä myös geometrian ja matemaattisen fysiikan tutkimuksessa.