konformaalisia

Konformaalisia tarkoittaa yleisesti sitä, että jokin kartoitus tai rakenne säilyttää kulmat paikallisesti. Matematiikassa konformaalinen kartta f: U → V, jossa U ja V ovat avoimia osia R^2:ssa tai C:ssa, on usein holomorfinen ja sen derivaatta ei ole nolla sen määrittelyalustalla. Tällöin kartta säilyttää pienet kulmat ja muodon, vaikka pituudet ja koko voivat muuttua. Monimutkaisessa analyysissä tämä merkitsee, että f on paikallisesti kulmamuuntaja, mikä antaa hyödyllisiä ominaisuuksia kartoitusten suunnitteluun ja analysointiin. Yleisesti voidaan sanoa, että 2-ulotteisessa tapauksessa konformaalisuus vastaa analyyttisen funktion kulmapesa.

Esimerkkejä ja ominaisuuksia: Möbius-kartat z ↦ (az + b)/(cz + d) ovat konformaalisia koko suorakulmioalueen tai laajennetun komplexipinnan päälle. Sähköinen tai graafinen muotoilluvuus hyödyntää usein konformaalisuutta, koska se säilyttää kulmat tarkasti paikallisesti. Jos f on holomorfinen ja f'(z) ≠ 0 kaikilla z:ssa, f on konformaalinen paikallisesti. Yleisesti konformaalisuus säilyy kertolaskulla ja funktion kompositionilla; käänteinen kuvaus on myös konformaalinen, kun se on määritelty.

Laajemmassa mielessä konformaalisuus liittyy konformaalisiin rakenteisiin ja muotoihin, kuten konformaaliseen geometri​aan, Riemannin pinnoille ja konformaaliseen kenttäteoriaan fysiikassa. Kartografiassa konformaaliset kartat pyrkivät säilyttämään pienien alueiden muodon, esimerkiksi Mercator-projektion tarkoituksena on säilyttää kulmat. Konformaalisuus on siten tärkeä käsite sekä teoreettisessa että soveltavassa matematiikassa.