kompaktiutta

Kompaktiutta (kompaktisuus) on topologian ominaisuus, jossa tilaa peittävien avoimien joukkojen kokoelma sisältää lopullisen alipeitteen. Toisin sanoen tilaa voi peittää vain finitesti monella avoimella joukkolla. Tämä käsite on keskeinen monissa matemaattisissa teorioissa ja tarjoaa monia käyttökelpoisia ominaisuuksia analyysissä ja geometriassa.

Metrisissä tiloissa kompaktisuus on ekvivalentti sekvensiaalisen kompaktiuden kanssa: jokainen jono tilassa sisältää konvergentin alijonon. Siis jokaiselle osalle tilaa voidaan löytää raja-arvo, mikä tekee analyysista ja optimoinnista helpompaa. Suppeasti rajoitetussa ja suljetussa tilassa on usein kompaktisuus, mutta yleisessä topologiassa nämä ominaisuudet eivät riitä.

Käytännössä yksi tärkeä tulos on Heine–Borelin lause: R^n:ssä joukko on kompaktinen täsmälleen silloin, kun se on suljettu ja rajoitettu. Tämä antaa yksinkertaisen heuristiikan useissa sovelluksissa. Lisäksi kompaktiuden ominaisuudet säilyvät jatkuvien kuvausten alla: jos f on jatkuva ja K on kompaktinen, niin f(K) on kompaktinen. Tämä johtaa maksimi- ja minimiarvojen toteutumiseen jatkuvilla funktioilla sekä yleistyksiä integraatioon ja analytiikkaan.

Esimerkkejä: suljettu ja rajoitettu intervalli [a, b] on kompaktinen R:ssä, kun taas avointa intervalia (a, b) ei ole. Z -joukko luonnollisten lukujen kanssa on ei-kompaktinen R:n normaalissa topologiassa. Kenttätasolla Tyokon työssä todettujen tulosten kautta tieteellinen tieto on usein rakennettu kompaktiuden varaan.

Kompaktiutta käsitellään laajasti eri matemaattisissa konteksteissa, mukaan lukien funktioiden analyysi, differentiaaligeometria ja topologiset tuotokset.