kompaktisuudesta

Kompaktisuus on matemaattinen käsite, joka liittyy topologisten avaruuksien ominaisuuksiin. Topologisessa avaruudessa joukko on kompakti, jos sen jokaisesta avoimesta peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite. Tämä määritelmä on yleistys suljetuista ja rajoitetuista väleistä euklidisissa avaruuksissa.

Euklidisessa avaruudessa, kuten reaaliakselilla tai tasossa, kompakti joukko on aina suljettu ja rajoitettu. Suljettu joukko sisältää kaikki rajapisteensä, ja rajoitettu joukko voidaan sijoittaa riittävän pieneen palloon. Yleisemmissä topologisissa avaruuksissa nämä ehdot eivät kuitenkaan ole riittäviä tai välttämättömiä kompaktiudelle.

Kompaktisuudella on monia tärkeitä seurauksia matematiikassa. Esimerkiksi jatkuva funktio kompaktilla avaruudella saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa, ja jatkuva kuvaus kompaktista avaruudesta toiseen kompaktiseen avaruuteen on myös kompakti. Kompaktius on keskeinen käsite monilla matematiikan aloilla, kuten funktioteoriassa, differentiaaligeometriassa ja numeerisessa analyysissä. Sillä on myös sovelluksia muilla tieteenaloilla, kuten fysiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Yksinkertaisemmin sanottuna, kompaktius kuvaa eräänlaista "lopullisuutta" tai "päättyvyyttä" avaruudellisissa rakenteissa.