kiertojoukkoja

Kiertojoukkoja on termi, jota käytetään useilla tieteenaloilla kuvaamaan joukkoa pisteitä, jotka syntyvät, kun jokin toiminta tai symmetria siirtää kohteen ympärilleen. Yleinen käsite on kiertojoukko (orbit) ryhmän G vaikutuksesta pisteeseen X. Olkoon X joukko ja G ryhmä, jonka jäsenet vaikuttavat X:ään siten, että kullekin x ∈ X määritellään kiertojoukko G·x = {g·x | g ∈ G}. Kiertojoukot jakavat X:n erillisiin osiin, ja X:stä voidaan muodostaa kiertojoukkojen tila X/G.

Dynaamisessa järjestelmässä, jossa X:stä X:ään kulkee kartta f: X → X, pisteen x kiertojoukko on {x, f(x), f^2(x), ...}. Se voi olla äärellinen, jos x on jakso, tai ääretön.

Esimerkkejä: Kun G = SO(2) ja X on taso, kiertojoukko, jonka pisteen x noudattaa, on ympyrä, jos x ei ole origossa; origossa kiertojoukko on yksittäinen piste. Translatiivinen toiminta tuottaa kiertojoukkoja, jotka ovat suoria linjoja. Kiertojoukkojen luonne heijastelee sekä symmetrioita että dynaamisia käyttäytymismalleja.

Ominaisuudet: Kiertojoukot jakavat X:n. Stabiilijoukko tai stabilisaattorit Stab_G(x) ovat ne G:n alijoukot, jotka pitävät x:n paikoillaan. Mikäli G on äärellinen, orbitin ja stabilisaattorin koot liittyvät toisiinsa orbit-stabilizer-lailla: |G·x| · |Stab_G(x)| = |G|. Dynaamisessa kontekstissa kiertojoukot voivat olla periodisia tai epäperiodisia.

Sovelluksia ovat symmetrian luokittelu, geometrisen rakenteen analyysi, dynamiikan mallit sekä useiden matematiikan osa-alueiden tutkimus.