ketmaketliklar

Ketma-ketliklar (ketma-ketliklar yoki ketma-ket sonlar to'plamlari) matematikada har bir natural indeks uchun alohida qiymat ajratilgan sonlar to’plamini ifodalaydi. a_n ko'pincha n-chi element deb ataladi. Ketma-ketliklar a: N -> R bo'lgan funksiya sifatida ham tushuniladi, bu yerda n = 1, 2, 3, ... bo'lgan natural sonlar ketma-ketligining indekslaridir.

Asosiy turdagi ketma-ketliklar ichida eng keng tarqalgani arifmetik va geometrik ketma-ketliklardir. Arifmetik ketma-ketlikda har bir keyingi element oldingi elementdan o'ziga xos doimiy differensiya d farq bilan farq qiladi: a_n = a_1 + (n-1)d. Geometrik ketma-ketlikda esa har bir element oldingisiga nisbatan doimiy nisbat q bilan ko'paytiriladi: a_n = a_1 q^{n-1}. Boshqa turlarga monoton, cheklanmagan yoki cheklanigan ketma-ketliklar, davriy yoki mavhum (qayta takrorlanadigan) ketma-ketliklar kiradi.

Chegaralanish va torayish tushunchalari muhimdir. a_n ning cheksiz kattalashishi yoki kamayishi mumkin; limit mavjud bo'lsa, a_n → L deb aytiladi. Monoton bo'lgan va chekkalangan ketma-ketliklar ko'pincha chegaralashgan holatda limitga ega bo'lish ehtimolini ko'rsatadi.

Ko'rsatkichlar va yig‘indilar. Arifmetik ketma-ketlikda n- ta uchrashuvning umumiy yig‘indisi S_n = n/2 (a_1 + a_n) formulasiga ega; n‑th term esa a_n = a_1 + (n-1)d. Geometrik ketma-ketlikda S_n = a_1 (1 - q^n) / (1 - q) q ≠ 1 bo'lganda; q = 1 bo'lsa S_n = n a_1.

Ilovalari keng: hisoblashlar, turli modellar, daromadlar baholash, algoritmlar tahlili va ilmiy repetatsiyalarda uchraydi. Ketma-ketliklar matematik analizning asosiy vositalaridan biridir.