ketjusääntöön

Ketjusääntö on derivoimisen peruslaki, jolla lasketaan koostetun funktion derivaatta. Ketjusäännön perusidea on, että jos funktio y = f(u) riippuu muuttujasta u, joka itsessään riippuu x:stä u = g(x), niin kokonaisderivaatta voidaan muodostaa kertomalla ulkoisen funktion derivaatta sisäisen funktion derivaatalla. Se voidaan kirjoittaa muodossa dy/dx = f'(g(x)) · g'(x). Myös differentiaalimuodossa dy = f'(g(x)) · g'(x) dx esittää saman idean.

Laajemmin ketjusääntö voidaan yleistää useampiin ulottuvuuksiin. Jos f on kartta R^m → R^n ja g on kartta R^k → R^m, ja molemmat ovat derivoituvia, niin muuttujien Jacobianin avulla ketjusääntö toteutuu: Dy/Dx = Df(g(x)) · Dg(x). Tämä tarkoittaa, että kokonaisJacobian muodostetaan ulkoisen kartan Jacobianin ja sisäisen kartan Jacobianin matemaattisen tulon kautta.

Esimerkkejä. Yhtälö y = sin(x^2) antaa derivaatan dy/dx = cos(x^2) · 2x. Toinen esimerkki: y = e^{3x+2} saa dy/dx = e^{3x+2} · 3. Näissä esimerkeissä on nähtävissä, kuinka sisäisen funktion muutos muuttaa ulkoisen funktion nopeasti, ja derivaatta lasketaan ketjussa ulkoisen ja sisäisen osan derivoista.

Oletukset ja sovellukset. Ketjusääntö pätee, kun sekä sisäisen funktion g että ulkoisen funktion f derivoituvat pisteessä tai alueella, johon tarkastelu kohdistuu. Sitä käytetään laajasti koostettujen funktioiden derivoimisessa sekä monissa sovelluksissa fysiikassa, tekniikassa, taloustieteessä ja muissa matemaattisissa ongelmissa.