kertymäjakauma

Kertymäjakauma, eli kertymäfunktio (englanniksi cumulative distribution function, CDF), kuvaa todennäköisyyden sillä, että satunnaisluku X saa arvoon x tai pienempään arvoon. Merkitään F(x) = P(X ≤ x). Kertymäjakauma määrittää kaikkien X:n arvojen todennäköisyyksiä ja siten koko jakauman rakenteen.

Ominaisuudet: F on määritelty kaikille reaaliluvuille, se on monotonisesti kasvava ja oikea-continue, eli oikealla puolella jatkuva. Rajat ovat limiitit: lim x→−∞ F(x) = 0 ja lim x→+∞ F(x) = 1. Jos X on jatkuva satunnaisluku, F on kasvava ja jatkuva; jos X on diskreetti, F on askelfunktio, jossa jokaisella massapisteellä x on vetäytyvä hyppy, jonka suuruus on P(X = x).

Yhteyksiä tiheyteen ja massaan: jatkuvan jakauman tapauksessa F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt, missä f on tiheysfunktio. Tiheyden derivaatti F'(x) = f(x) mille kohdille määritelty. Diskreetissä jakaumassa F:llä on kappale-alarajojen hyppyjä, ja hyppyjen suuruus vastaa P(X = x). Sekä jatkuvan että diskreetin sekoitetta voidaan tukea.

Käyttö: todennäköisyyksiä lasketaan F(b) − F(a). Kvantiilien ja prosenttipisteiden löytämiseksi ratkaistaan F(x) = p. Empiirisesti voidaan käyttää otoksen kertymäfunktiota F_n(x) = (1/n) ∑ I{X_i ≤ x}.

Monimutkaisemmissa tapauksissa voidaan määritellä yhteiskertymä F(x1, …, xd) = P(X1 ≤ x1, …, Xd ≤ xd) multivariaatiossa. Kertymäjakauma on perusta tilastotieteelliselle tulkinnalle ja simuloinnille sekä riskien ja luotettavuuden analysoinnille. Sijainti- ja mitta-asteikot sekä sovelluskonteksti vaikuttavat sen ominaisuuksiin ja tulkintaan.