keresztszorzat

Keresztszorzat egy két dimenziókon kívüli, 3D-s vektorokat összekötő bináris művelet, amely a bemeneti vektorokra merőleges vektort eredményez, és hossza megegyezik a bennük kijelölt paralelogramma területével. Geometriailag azt is mondhatjuk, hogy a keresztszorzat a két vektor által meghatározott sík normálvektora.

A és B vektorokkal, ahol A = (a1, a2, a3) és B = (b1, b2, b3), a × b = (a2 b3 − a3 b2, a3 b1 − a1 b3, a1 b2 − a2 b1). Ez a formula a koordináták koordinárait determináns formában is kiadja: a × b = det | i j k; a1 a2 a3; b1 b2 b3 |.

Fontos tulajdonságok:

- Anti-commutatív: a × b = −(b × a).

- Bilineáris: a × (b + c) = a × b + a × c és (a + b) × c = a × c + b × c.

- Ortogonitás: a × b az a és b vektorokra merőleges; (a × b) · a = 0 és (a × b) · b = 0.

- Hossz: |a × b| = |a| |b| sin θ, ahol θ az a és b közötti szög.

- Jobb kéz szabály: az első vektor irányát a mutató, a második irányát a középső ujj, míg a keresztszorzat irányát a hüvelykujj adja.

Korlátok és általánosítások:

- A keresztszorzatot jellemzően csak háromdimenziós térben definiálják hagyományos értelemben. Léteznek különböző általánosítások, például némileg azokban a speciális esetekben, ahol szerializált algebrai struktúrák engedik.

Alkalmazások közé tartozik a forgatónyomaték és az oldalirányú angular momentum kiszámítása, a nyomó- és fényurnálisok számítása számítógépes grafikai és geometriai problémákban, valamint a sík normálvektorának meghatározása.