katkaisutoiminto

Katkaisutoiminto on matematiikassa ja analyysissa käytetty termi, joka tarkoittaa funktiota, jolla "katkaistaan" tai rajoitetaan muita funktioita tietylle alueelle. Tavallisin merkitys on mielessä oleva C∞-funktio, jonka tuki on kompaktisti sisällä avoimessa joukossa ja joka on yhtä kuin 1 jollain pienemmällä kompaktilla osajoukolla. Tällaisia funktioita kutsutaan myös bump- tai kutistamistoiminnoiksi (engl. cutoff function).

Katkaisutoimintojen olemassaolo perustuu topologisiin ja analyyttisiin tuloksiin, kuten Urysohnin lemaattiin normaalitiloissa ja mollifikaattoreihin R^n:ssä, joiden avulla saadaan suahahkoja (smooth) funktioita, joilla on halutut tukiominaisuudet. Ne ovat hyödyllisiä paikallistamiseen: monimutkaisia ongelmia voidaan käsitellä paikallisesti ja koota globaalinen ratkaisu partitioiden avulla (partitions of unity).

Sovelluksia esiintyy differentiaali- ja osa-alueanalyysissä, parittomien differentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa, funktioavaruuksien rajoituksissa ja integraalilaskennassa (esimerkiksi integraation osittaisessa käsittelyssä ja rajanvaihdossa). Katkaisutoiminnolla voidaan myös trimmata tai normalisoida satunnaismuuttujia ja rakentaa laajoja rakennelmia, kuten paikallisia koordinaattijärjestelmiä differentiaaligeometriassa.