katkaisufunktioiden

Katkaisufunktioiden käsite kattaa funktiot, joita käytetään rajoittamaan tai lokalisoimaan ilmiöitä analyysissä ja geometriassa. Tyypillisesti katkaisufunktioilla on kompakti tukitoiminto, eli ne ovat nollia suurina tai kaukana määritellystä alueesta. Usein ne ovat sileitä (esimerkiksi C∞) ja niiden arvot voivat olla välillä 0 ja 1. Katkaisufunktioita käytetään, kun halutaan siirtää paikallisesti tarkasteltavia ominaisuuksia, esimerkiksi sulkea pois kaukaisia vaikutuksia tai yhdistellä paikallisia tietoja.

Rakennusmenetelmät: Yksi yleinen tapa on käyttää 1:n ulottuvuudessa olevaa nappifunktiota ja sen avulla muodostaa siirtymäalue, jossa arvo kasvaa 0:sta 1:een sujuvasti. Esimerkiksi valitaan a < b and määritellään f(t) = 0, kun t ≤ 0, ja f(t) = exp(-1/t) kun t > 0. Tämän jälkeen katkaisufunktio chi_{a,b}(x) = f(x−a) / [f(x−a) + f(b−x)] on 0 ≤ chi ≤ 1, ja chi_{a,b}(x) on 0 alle a, 1 yli b. Tätä periaatetta voidaan laajentaa useisiin ulottuvuuksiin asettamalla r(x) = ||x||/R ja käyttämällä vastaavaa 1D-funktiota radiaalisesti, jolloin saadaan C∞-katkaisufunktio, jonka tuki on esimerkiksi ballin sisällä.

Käyttökohteita: Katkaisufunktioita käytetään laajasti partition of unity -konstrukteissa, jotta voidaan yhdistellä paikallisia tietoja, sekä localisoidussa analyysissä, epätasaisesti jakaantuneiden alueiden tutkimuksessa, sekä osana ratkaisujen smoothausta ja estimaatteja vaiheittain.

Esimerkkejä ja variaatioita löytyy eri konteksteista, mutta yhteisenä ideana on antaa kontrolloitu, sileä siirtymä alueelta toiselle sekä rajoittaa toiminnan tai datan vaikutusaluetta.