kaksoisjuurista

Kaksoisjuuri on käsite polynomiyhtälöistä. Tämä tarkoittaa juurta, jonka ratkaisu toistuu kahdesti; sen multipliciteetti on kaksi. Jos f on polynomi, r on kaksoisjuuri, jos sekä f(r)=0 että f'(r)=0. Yleisemmin juuret voivat olla m ≥ 2, mutta kaksoisjuuri viittaa erityisesti tapaukseen m=2.

Merkitys ja ominaisuudet: Kaksoisjuuri vaikuttaa polynomin nollakohtiin ja graafin käyttäytymiseen. Jos f(x) = (x−r)²g(x) ja g(r) ≠ 0, niin r on kaksoisjuuri. Tämän seurauksena käyrä koskettaa x-akselia kohdassa x=r eikä läpäise sitä.

Havaitseminen ja laskeminen: Yksinkertainen testi on f(r)=0 ja f'(r)=0. Yhteisten nollakohtien etsimiseksi voidaan käyttää suuremman asteen polynomin f ja sen derivaatan f' yhteisiä juuria eli gcd-menetelmää. Diskriminantti nollaa tarkoittaa, että polynomilla on ainakin yksi kaksoisjuuri.

Esimerkkejä: f(x)=x²−2x+1=(x−1)² antaa kaksoisjuuren x=1. Toinen esimerkki: f(x)=(x−1)²(x+2) sisältää kaksoisjuuren x=1 (multipiteetti 2), kun taas x=−2 on yksittäinen juuri.

Käyttökontekstit: Kaksoisjuuret ovat tärkeitä sekä algebrassa että analyysissä: ne vaikuttavat polynomin faktorisointiin, diskriminanttiin sekä lähestymisen ja tangentin ominaisuuksiin nollakohtien läheisyydessä.