jämviktspunkter

Jämviktspunkt, eller jämviktspunkter i plural, är en punkt i ett system där nettokrafter eller nettostråkar balanserar så att systemets tillstånd inte förändras över tid. Begreppet används inom flera områden, bland annat mekanik och dynamiska system, kemi och ekonomi, där varje jämviktspunkt representerar ett tillstånd där systemet kan stanna eller förbli konstant. I kontinuerlig tid brukar man beskriva ett dynamiskt system med dx/dt = f(x); en jämviktspunkt x* uppfyller då f(x*) = 0.

Jämviktspunkter klassificeras ofta efter stabilitet. En jämvikt kan vara stabil, asymptotiskt stabil, instabil eller neutralt stabil. I en endimensionell modell dx/dt = f(x) avgörs stabiliteten av tecknet på f'(x*): om f'(x*) < 0 är jämvikten lokal stabil; om f'(x*) > 0 är den instabil. I flerdimensionella system studeras Jacobianen J = ∂f/∂x vid x*. Om alla egenvärden hos J har negativ realdel är jämvikten asymptotiskt stabil; om något egenvärde har positiv realdel är den instabil.

I kemi beskriver jämvikt en kemisk jämvikt där hastigheterna för framåt- och bakåtrörelser lika, så koncentrationerna är konstant under tiden. Le Chateliers princip används för att förstå hur systemet reagerar på störningar. I andra fält används begreppet även för ekonomiska eller biologiska jämvikter, där det gemensamma temat är att flöden eller krafter balanserar.

Att hitta jämviktspunkter innefattar ofta att lösa f(x) = 0 och sedan analysera stabiliteten genom linjärisering eller numeriska metoder, ofta följt av visualisering på potential- eller fasrumsbilder. Exempelvis har dx/dt = rx(1−x) jämviktspunkterna x* = 0 och x* = 1, där x* = 1 är stabil för r > 0.