iteratsioonidele

Iteratsioonid on järjestikuste sammude kogum, mille käigus lahenduse poole liikutakse järk-järgult. Iga samm põhineb eelmisel tulemuse. Iteratiivne lähenemine erineb otsesest lahendamisest selle poolest, et lahendust püüetakse leida korduvate sammude kaudu, mitte ühe korraga toimiva lahendusega.

Iteratsioonide kasutusala on laialdane: need leiavad rakendust matemaatikas ja arvutiteaduses ning mitmesugustes simulatsioonides. Näiteks fikseeritud punkti iteratsioonis x_{n+1} = g(x_n) püüdakse leida väärtus x, mille puhul x = g(x). Teised levinud meetodid on Newtoni–Raphsoni meetod mittelineaarsete võrrandite lahendamiseks ning lineaarsete süsteemide lahendamisel Jacobi ja Gauss-Seidel meetodid. Konvergentsi tagavad erinevad tingimused: näiteks funktsioon, mida on kontraktsioon, või lineaarses süsteemis positiivne definiteness ja dimoniine domineerivus. Oluline on ka iteratsioonimaht ja omaduste tõttu määrata sobiv algväärtus.

Lõpuks kehtivad erinevad peatamiskriteeriumid. Sageli lõpetatakse, kui lahendi ja eelmise sammu vahe norm on väiksem tolerants või residuum norm (b − Ax_k) on pärast lahendust taskurauguväärtuslikult väiksem. Iteratsioonid on tavaliselt mäluhõlpsamad ja veidi vähem tundlikud arvutuse järsu kõrgtraagilise muutuse suhtes kui otsene lahendamine, kuid nende edukus sõltub konvergentsitingimuste täitmisest. Sõna iteratsioon võttis selle mõiste ladina keelest ja on tänapäeval laialdaselt kasutusel nii teoorias kui rakendustes, võimaldades lahendada keerulisi probleeme samm-sammult.