Iteratsioonide

Iteratsioonide mõiste viitab arvutusliku lahenduse otsimise protsessile, kus sama operatsiooni rakendatakse järjestikustes sammudes, kasutades iga eelmist väärtust sisendina. Iga samm viib lahenduse lähenemise või fikseeritud punkti suunas. Iteratsioonid on keskne tööriist matemaatikas, analüüsis ja inseneriteadustes, kus otsene lahendus võib olla keeruline või kallis.

Fikseeritud punkti iteraatsioon kasutab x_{k+1} = g(x_k). Kui x* on lahendus, mille korral x* = g(x*), on konvergens tõenäoline, kui g'(x*) absoluutväärtus on väiksem kui 1 lähialal.

Newtoni meetod x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) annab tihti kvadratuurselt kiire konvergens. See nõuab derivate olemasolu ja algväärtus on piisavalt lähedal lahendusele.

Lineaarsete süsteemide puhul kasutatakse iteratiivseid meetodeid nagu Jacobi, Gauss-Seidel ja SOR. Need meetodid jagavad maatriksi A osadeks D, L ja U ning iteraatsioonivalemid on x^{(k+1)} = D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)}) ja sarnaselt.

Konvergentsi ja lõpetamise kriteeriumid: tavaliselt kontrollitakse kahe järjestikuse iteraatsiooni vaheline norm ||x^{(k+1)} - x^{(k)}|| < ε või residuaal ||r^{(k)}|| < ε, kus r^{(k)} = b - Ax^{(k)}. Kiirus sõltub maatriksi A omadustest; kui iteratsioonimaatriksi spektri raadius on väiksem kui 1, iteraatsioon konvergeerub.

Rakendused: Iteratsioonide meetodeid kasutatakse laialdaselt suurte süsteemide lahendamisel, diferentsiaalvõrrandite numbrilistes lahendustes, simulatsioonides ja arvutustehnikas, kus on oluline nii lahenduse täpsus kui ka ressursikasutus.

---