iteracje

Iteracja (liczba mnoga: iteracje) to proces polegający na powtarzaniu zestawu operacji w celu uzyskania kolejnego stanu lub wartości. W matematyce i informatyce jest to wielokrotne zastosowanie funkcji do bieżącej wartości, co skutkuje nową wartością x_{n+1} = f(x_n). Proces ten prowadzi często do zbliżania się do pewnego punktu stałego, zwanego punktem stałym, jeśli warunki zbieżności są spełnione.

W analizie numerycznej iteracje wykorzystywane są do uzyskania przybliżeń rozwiązań równań lub układów równań. Zwykle zaczyna się od wartości początkowej x_0 i kolejno wyznacza x_1, x_2, itd., aż do osiągnięcia zadanej tolerancji. Zbieżność oznacza, że x_n zbiega do punktu x*, który spełnia x* = f(x*). Warunki zbieżności zależą od funkcji; na przykład w przypadku metody stałej punktowej wymagane jest, by |f'(x*)| < 1.

Najważniejsze przykłady to metody przybliżeń kolejnych: metoda stałej punktowej x_{n+1} = g(x_n) oraz metoda Newtona x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n). W optymalizacji i numeryce często rozróżnia się typy tempa zbieżności, np. liniową lub kwadratową.

W informatyce iteracje realizuje się za pomocą pętli (for, while) z warunkiem zakończenia, co odróżnia je od rekursji pod względem zużycia pamięci. W projektowaniu i zarządzaniu produktem iteracyjny rozwój opiera się na krótkich cyklach, częstych ocenach i wprowadzaniu poprawek.