integrálértékét

Az integrálértéke egy függvény által meghatározott integrál értéke, vagyis az a számérték, amely az integrál számításával nyerhető. Matematikában megkülönböztetjük a határozatlan és a határozott integrált.

Határozatlan integrál: ∫ f(x) dx azokat az antideriváltákat adja meg, amelyek deriváltja f(x). Az általános megoldás F(x) + C, ahol F'(x) = f(x) és C a konstans. Az ilyen integrálok nem korlátozott intervallumhoz kötve értelmezettek.

Határozott integrál: ∫_a^b f(x) dx a [a,b] intervallumon f(x) alatti terület net összegét adja, a függvény és a tengely viszonyától függően. Ha f folytonos, a fundamental theorem of calculus szerint létezik olyan F, hogy F' = f, és ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Improper integrálok: ha a határok végtelenek vagy a függvény a határokban végtelen értékű, az integrál értéke határérték formájában kerül meghatározásra.

Értékelés és számítás: antideriválás, helyettesítés, részekre bontás, vagy speciális technikák révén történik; gyakran numerikus módszerekkel is becsülhető, például trapéz- vagy Simpson-szabállyal.

Tulajdonságok: linearitás (∫(αf + βg) = α∫f + β∫g) és additivitás az intervallumok között.

Gyakorlati példák: ∫ x^2 dx = x^3/3 + C; ∫_0^1 x dx = 1/2.

Ha konkrét függvényre és intervallumra szeretné meghatározni az integrálértékét, adja meg a függvényt és az intervallumot.