integraaliyhtälölle

Integraaliyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon funktio esiintyy integraalin sisällä. Ne ovat yleinen tapa muotoilla ja ratkaista monenlaisia ongelmia matematiikassa, fysiikassa ja insinööritieteissä. Integraaliyhtälöitä voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: Fredholmin integraaliyhtälöihin ja Volterran integraaliyhtälöihin. Fredholmin yhtälöissä integraalin rajat ovat vakioita, kun taas Volterran yhtälöissä toinen integraaliraja on muuttuja.

Integraaliyhtälöitä voidaan edelleen luokitella sen mukaan, onko tuntematon funktio integrointimuuttujan suhteen lineaarinen vai epälineaarinen. Usein integraaliyhtälöiden ratkaiseminen muistuttaa differentiaaliyhtälöiden ratkaisemista, ja monet tekniikat, kuten Fredholmin resolventti ja Volterran resolventti, ovat analogisia differentiaaliyhtälöiden ratkaisutekniikoille. Lisäksi numeerisia menetelmiä käytetään laajasti likimääräisten ratkaisujen löytämiseksi, erityisesti silloin kun analyyttisiä ratkaisuja ei ole saatavilla.

Integraaliyhtälöitä esiintyy luonnostaan monissa fysikaalisissa sovelluksissa, kuten säteilyn siirtymisessä, potentiaaliteoriassa, elastisuudessa ja kvanttimekaniikassa. Ne tarjoavat joustavan ja tehokkaan tavan mallintaa järjestelmiä, joissa vaikutukset leviävät jatkuvasti tai ovat vuorovaikutuksessa alueella. Esimerkiksi Potesselin yhtälö ja Schrödinger-yhtälö voidaan muotoilla integraaliyhtälöiksi. Integraaliyhtälöiden teoria ja sovellukset ovat laaja ja aktiivinen tutkimusalue.