integrálok

Az integrálok a matematikában a függvények alatti teret mérő fogalmak. Két fő típust különböztetünk meg: a határozatlan integrál (primitív függvény) és a határozott integrál. A határozatlan integrál olyan függvényt ad meg, amelynek deriváltja az adott f, azaz F' = f. Így az F + C mindegyik primitív megoldás. A határozott integrál pedig a görbe és az x-tengely közötti területet adja meg egy adott [a, b] intervallumon: ∫_a^b f(x) dx.

A definíciókhoz kapcsolódó klasszikus megközelítések közé tartozik a Riemann-integrál, amely a függvényt darabokra bontva és a darabok alatti területeket összegzve határozza meg az eredményt. A Lebesgue-integrál általánosabb fogalom, amely a mérhető függvények szélesebb körére alkalmazható. További típusok közé tartozik a Stieltjes-integrál és az improper integrál, amely határértékek segítségével értelmezett eseteket fed le.

A két alapfogalom közti kapcsolatot a fundamental theorem of calculus fedi össze: ha f a [a, b] zárt intervallumon folytonos, akkor létezik primitív F, és ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Ennek következtében a deriválás és az integrálás összefüggenek, és a lineáris tulajdonságok, mint a linearitás és az additivitás érvényesek.

Az integrálok elmélete a mérték- és integrálszámítás része, és számos alkalmazást találnak bennük fizikában, statisztikában, gazdaságtanban és mérnöki tudományokban. A történet a 17. századi Newtonhoz és Leibnizhez nyúlik vissza.

---