iniektywnoci

Iniektywność, także nazywana własnością “jedno–do–jednego” odwzorowania, to właściwość funkcji polegająca na tym, że różne argumenty mają różne wartości. Formalnie, funkcja f: A → B jest iniektywna (injective), jeśli dla wszystkich x1, x2 ∈ A zachodzi f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Innymi słowy, jeśli x1 ≠ x2, to f(x1) ≠ f(x2).

W praktyce iniektywność zależy od domenu i kodomu. Funkcja f(x) = 2x z liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych jest iniektywna, ponieważ różne wartości x dają różne wartości f(x). Funkcja f(x) = x2 nie jest iniektywna na całym zbiorze R, bo f(1) = f(-1); jednak na przedziale [0, ∞) jest iniektywna. Funkcja f: Z → Z, f(n) = n + 1, również jest iniektywna.

Mniejsze testy i charakterystyki: funkcja jest iniektywna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwrotna funkcja po lewej stronie (istnieje g: B → A taki, że g ∘ f = id_A). Silnym powiązaniem jest również fakt, że funkcje szeroko rozumiane jako odwzorowania jedno–do–jednego są left-cancellable: f(x) = f(y) implikuje x = y.

W przypadku zbiorów skończonych, jeśli f jest iniektywna, to |A| ≤ |B|; jeśli ponadto f jest surjektywna, to jest bijektywna. Iniektywność jest kluczowa w algebraicznych pojęciach odwzorowań, ordynowaniu i konstrukcjach odwrotności. W kontekście funkcji rzeczywistych, monotoniczność ściśle rosnąca lub malejąca zapewnia iniektywność. See also surjektywność, bijektywność, odwrotność odwzorowania.