incircunferência

A incircunferência, também chamada de círculo inscrito, é o círculo que fica contido dentro de uma figura plana e que tangencia todos os seus lados. O caso mais estudado é o triângulo, no qual existe um círculo inscrito único que toca cada lado.

No triângulo, o centro da incircunferência é o incentro, o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos. A distância do incentro a qualquer lado é o raio r da incircunferência. Os pontos de tangência em cada lado determinam segmentos úteis: se a semiperímetro do triângulo for s, então os comprimentos dos segmentos nos vértices são s − a, s − b e s − c, onde a, b, c são os lados opostos aos vértices.

Propriedades-chave: para qualquer triângulo, a área A pode ser expressa como A = r·s, onde s é o semiperímetro. Logo, r = A/s. Usando a fórmula de Heron para A, pode-se obter r em termos dos lados: r = A/s = sqrt[(s−a)(s−b)(s−c)/s]. A incircunferência é, por definição, tangente aos três lados.

Generalização: em polígonos convexos, existe uma incircunferência se a figura for tangencial, ou seja, puder ter um círculo tangente a todos os lados. Nessas situações, há um centro comum equidistante de todos os lados, e a área também satisfaz A = r·s, com s o semiperímetro do polígono. As incircunferências são úteis em problemas de áreas, perímetros e propriedades de tangência.