hajufunktsioone

Hajufunktsioone on matemaatikas ja rakendusteadustes kasutatav mõiste, mis kirjeldab funktsioone, mida kasutatakse hajumise või levimise protsesside mudeldamiseks ruumis ja aja jooksul.

Definitsioon: Hajufunktsioon on pere funktsioone K(x,t), mis kirjeldab koha x ja aja t kohas oleva koguse tihedust vastavalt hajumise protsessile. Neid funktsioone kasutatakse sageli lahenduste leidmiseks hajumise võrrandile ∂u/∂t = D∇^2u, kus D on difusioonikordaja. Isotoopses hajumises sõltub K ainult |x| ja t ning võidakse väljendada skaleeritult: K(x,t) = t^{-n/2} Φ(|x|/√t).

Omadused: Hajufunktsioonid on tavaliselt mitte-negatiivsed ning iga t > 0 korral rahuldatakse normeeritavus ∫ K(x,t) dx = 1. Need on radiaalselt sümmeetrilised, siledad ja sõltuvad hajumise ajalises arengu kaudu parametrist D. Isotoopse hajumise korral on K-d täiustatud omadused, mis annavad sõltuvuse ainult distantsist ja ajast.

Näited: Gaussiline kernel on hajufunktsiooni kõige tuntum näide: K(x,t) = (4πDt)^{-n/2} exp(-|x|^2/(4Dt)). Teised näited hõlmavad erinevaid Lévy-stabiilseid või kiireid hajutusrude, mis kirjeldavad erinevaid levimise mustreid.

Rakendused: Hajufunktsioone kasutatakse pilditöötluses hajutamiseks ja teadvuse või signaalide voolavuse modelleerimisel, füüsikas ja keemias ainete leviku kirjeldamiseks, ökoloogias populatsioonide dispersiooni mudeldamiseks ning masinõppes, kus neid rakendatakse diffusion maps ja sarnaste kernellidega.

Seotud mõisted: diffuusioonivõrrand, kernel, Gaussiline funktsioon, kernel density estimation, diffusion maps.