grupperingsfunksjon

Grupperingsfunksjon er en funksjon som tilordner hvert element i en mengde et gruppelabel. La X være en mengde av elementer og G en mengde som representerer de tilgjengelige gruppene. En funksjon f: X → G kalles en grupperingsfunksjon når hvert x i X får en verdi f(x) i G som identifikator for den gruppen x tilhører. Det er ikke nødvendig at alle grupper i G brukes, men når f er surjektiv blir alle gruppene i G benyttet.

Denne tildelingen gir en partisjon av X i delmengder av typen f⁻¹({g}) for g i bildemengden im(f). Disse delmengdene kalles gruppene. Ekvivalensrelasjonen x ~ y definert ved f(x) = f(y) er en ekvivalensrelasjon, og de tilsvarende ekvivalensklassene er gruppene.

Hvis man kjenner en partisjon av X, kan man velge et sett med grupperingsmerker G og tilordne hver blokk av partisjonen en unik label, og dermed få en grupperingsfunksjon f: X → G.

Egenskaper: Antallet grupper er lik størrelsen på bildemengden im(f). Hvis f ikke er surjektiv, kan enkelte labels være ikke brukte. Grupperingsfunksjoner gir en naturlig måte å beskrive medlemskap i grupper på, samtidig som de gir en matematisk kobling til partisjoner og ekvivalens.

Eksempel: Funksjonen f: {a, b, c, d} → {1, 2} definert ved f(a) = f(b) = 1 og f(c) = f(d) = 2 deler X i gruppene {a, b} og {c, d}. Anvendelser inkluderer dataorganisering, clustering og klassifisering.

Se også: ekvivalensrelasjon, partisjon, kjerner til en funksjon, clustering.