grenseverdiene

Grenseverdiene er sentrale begreper i matematikk og analyse. De beskriver hvilken verdi en størrelse nærmer seg når input nærmer seg et bestemt punkt, eller når en indeks vokser mot uendelig. De eksisterer for både tallsekvenser og funksjoner og kan være finite eller uendelige.

Grenseverdier for sekvenser beskriver hva som skjer med en rekke a_n når n går mot uendelig. Vi sier at lim_{n→∞} a_n = L hvis a_n kommer arbitrært nær L når n blir stor. Enhetlig definisjon bruker ε-N-kriteriet: for hvert ε > 0 finnes det et N slik at n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε. Eksempel: a_n = 1/n → 0.

Grenseverdier for funksjoner beskriver hva f(x) nærmer seg når x nærmer seg et punkt c. Vi sier at lim_{x→c} f(x) = L hvis for hvert ε > 0 finnes det δ > 0 slik at 0 < |x − c| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε. Verdien f(c) trenger ikke å være definert, og kan være forskjellig fra L. Grenser kan være tosidige, eller bare venstre- eller høyregrenser.

Grenser mot uendelig og grenser ved et punkt kan være finite eller uendelige. Noen funksjoner har ingen grense ved et bestemt punkt fordi verdiene ikke nærmer seg noe tall. Grenser er tett knyttet til kontinuitet: en funksjon er kontinuerlig i c hvis lim_{x→c} f(x) = f(c).

Eksempler som illustrerer bruk: lim x→0 sin x / x = 1; lim x→2 (x^2 − 4)/(x − 2) = 4; lim n→∞ 1/n = 0. Grenseverdier brukes i matematikk samt i anvendelser som fysikk, økonomi og databehandling.