geometriskfördelningar

Geometrisk fördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som beskriver antalet försök som krävs för att uppnå den första framgången i en serie oberoende Bernoulli-försök, där varje försök har samma sannolikhet för framgång. Låt p vara sannolikheten för framgång i ett enskilt försök, och låt q = 1-p vara sannolikheten för misslyckande.

En slumpvariabel X som följer en geometrisk fördelning kan representeras som antalet försök, X = {1, 2, 3, ...}. Sannolikhetsfunktionen för en geometrisk fördelning ges av P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p, där k är antalet försök. Detta innebär att vi har k-1 misslyckanden följt av en framgång.

Förväntningsvärdet för en geometrisk fördelning är E(X) = 1/p, vilket representerar det genomsnittliga antalet försök som krävs för att uppnå den första framgången. Variansen för fördelningen är Var(X) = (1-p)/p^2.

Ett alternativt sätt att definiera den geometriska fördelningen är antalet misslyckanden före den första framgången. I detta fall är slumpvariabeln Y = {0, 1, 2, ...} och sannolikhetsfunktionen är P(Y=k) = (1-p)^k * p. Förväntningsvärdet är då E(Y) = (1-p)/p och variansen är Var(Y) = (1-p)/p^2.

Tillämpningar av geometriska fördelningar inkluderar situationer som att kasta en tärning tills man får en sexa, eller att göra inköp online tills man hittar en viss produkt. Den geometriska fördelningen är grundläggande inom sannolikhetslära och statistik.