generaattorijoukon

Generaattorijoukko on algebraisen rakenteen, kuten ryhmän, renkaan, moduulin tai vektoriavaruuden, alijoukko, jolla koko rakenne voidaan muodostaa kyseisten operaatioden avulla. Ryhmien yhteydessä generaattorijoukko S täyttää, että pienin aliryhmä, joka sisältää S:n, on koko ryhmä G, eli G = ⟨S⟩. Merkitään usein G = ⟨S⟩ ja puhutaan S:n generoimasta ryhmästä.

Esimerkkejä:

- Lisäryhmä Z on generaattorijoukko {1}, sillä jokainen kokonaisluku voidaan kirjoittaa lukujen summina ja -summina 1:n avulla.

- Symmetriä S_3 koskee generaattorijoukko { (12), (123) }, joilla voidaan tuottaa kaikki S_3:n elementit.

Vektori- ja moduulijärjestelmissä generaattorijoukko S tarkoittaa tilannetta, jossa span(S) = V, eli jokainen vektori voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä S:n jäseniä. Esimerkki: standardijoukoksi e1, e2, …, en generaattorin R^n:ssä.

Rajoitetusti ja äärettömästi generoivat rakenteet: jos generaattorijoukko on rajallinen, puhutaan finitely generated -rakenteesta; suuremmin tai äärettömästi generoivat rakenteet voivat vaatia loputtoman määrän generaattoreita. Generaattorijoukon käsite auttaa ymmärtämään rakenteen rakennetta ja ominaisuuksia, kuten sen kongruensseja, luokittelua ja rakenteellista koostumusta. Usein pienemmät generaattorijoukot antavat tiiviimmän ja käsitteellisesti selkeämmän kuvan rakenteesta.