funktorisesti

Funktorisesti on termi, jota käytetään matematiikassa, erityisesti kategoriateoriassa, kuvaamaan sitä, että jokin rakennelma tai operaatio toimii funktorin tavoin. Tällöin kyseinen rakennelma voidaan määritellä siten, että se antaa yhdenmukaisen kuvan sekä kohde-olioille että morfismeille, ja tämä kuva säilyttää rakenteen.

Määritelmä: Olkoon F funktori koodista C kohteeseen D. Silloin F määrittelee olioille X ∈ Ob(C) olion F(X) ∈ Ob(D) sekä jokaiselle morfismille f: X → Y sopivan morfismin F(f): F(X) → F(Y). Lisäksi pätee F(id_X) = id_{F(X)} sekä F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) kaikille f: X → Y ja g: Y → Z. Näin rakennelma on funktorisesti määritelty: sille on muodostettu funktori.

Esimerkkejä: Yksi tunnetuimmista esimerkeistä on power set -funktori P: Set → Set, jossa P(f)(S) = { f(s) : s ∈ S }. Tämä on covariant funktori, ja se kuvaa osajoukkojen siirtämistä funktiolla. Toinen esimerkki on tuottaja- tai tuotosfunktorit, kuten projekteja tuotteita tai cocompakteja, jotka ovat funktoreita, kun voidaan kohdentaa ja tulla kohteesta toiseen morfismeja pitkin. Hom-funktorit, kuten Hom(A, −) tai Hom(−, A), voivat olla contravariant- tai covariant-funktoreita riippuen näkökulmasta, ja ne ovat keskeisiä funktorisuuden ilmentymiä.

Merkitys: Funktorisesti määriteltyjä rakennelmia voidaan käsitellä ennalta arvostettuna, koska ne säilyttävät identiteetit ja yhteenlaskut, jolloin rakennelmat ovat luonnollisesti yhteensopivia muiden funktoreiden ja luonnollisten transformaation kanssa. Tämä antaa johdonmukaisen kehyksen matemaattisten rakenteiden vertailuun ja yleistämiseen.

Käytön huomioita: Ei kaikille rakennelmille ole mahdollista löytää funktoriksi määrittelyä; jos valinta ei ole luonnollinen tai riittävän canoninen, rakennelma ei välttämättä ole funktorisesti määritelty.