funktionaalianalyysia

Funktionaalianalyysi on matematiikan ala, joka tutkii funktioavaruuksia. Funktioavaruudet ovat vektoriavaruuksia, joiden alkioina ovat funktiot. Näiden avaruuksien topologia ja geometria ovat keskeisessä asemassa funktiomaalisessa analyysissä. Alan keskeisiä käsitteitä ovat esimerkiksi normiavaruudet, Banach-avaruudet ja Hilbert-avaruudet. Normiavaruus on vektoriavaruus, jossa on määritelty normi, joka mittaa vektorin "pituutta". Banach-avaruudet ovat täydellisiä normiavaruuksia, kun taas Hilbert-avaruudet ovat täydellisiä sisätulon määrittelemiä avaruuksia.

Funktionaalianalyysi hyödyntää voimakkaasti lineaarialgebran ja topologian työkaluja. Lineaarikuvaus normiavaruuksien välillä on funktiomaalisessa analyysissä keskeinen tutkimuskohde, erityisesti jatkuvat ja rajoitetut lineaarikuvaukset. Tärkeitä tuloksia ovat muun muassa Bannachin kiintopistelause ja Hahn-Banachin lause.

Sovelluksia funktiomaalisella analyysillä on monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Sitä käytetään esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, kvanttimekaniikassa, signaalinkäsittelyssä ja todennäköisyysteoriassa. Erityisesti kvanttimekaniikassa Hilbert-avaruudet ovat luonnollinen matemaattinen kehys tilanvektorien esittämiselle. Funktionaalianalyysin kehitys 1900-luvun alkupuolella oli merkittävää matematiikan ja sen sovellusten kannalta.