finitdifferenssi

Finitdifferenssi, tunnetaan myös nimellä differenssimenetelmä, on numeerinen menetelmä, jota käytetään osittaisen differentiaaliyhtälöiden (PDE) ratkaisemiseen. Se perustuu ajatukseen, että jatkuva derivaatta voidaan approksimoida funktion arvojen erotuksella jaettuna vastaavalla muutosvälillä. Tämä diskretisointi muuttaa jatkuvan ongelman joukoksi algebrallisia yhtälöitä, jotka voidaan ratkaista tietokoneella.

Menetelmässä tarkasteltava alue jaetaan hienojakoiseen ruudukkoon. PDE:n derivaatat korvataan differenssiapproksimaatioilla, jotka käyttävät ruudukon pisteiden funktion arvoja. Yleisimpiä approksimaatioita ovat eteenpäin-, taaksepäin- ja keskidifferenssit. Eteenpäin differenssi on esimerkiksi f(x+h) - f(x) / h, kun taas keskidifferenssi on f(x+h) - f(x-h) / 2h. Nämä approksimaatiot ovat tarkempia, kun ruudukon askelväli h on pienempi.

Kun kaikki derivaatat on korvattu differenssiapproksimaatioilla, saadaan lineaarinen tai epälineaarinen yhtälösysteemi, joka liittää tuntemattomat funktion arvot ruudukon pisteissä toisiinsa. Tätä systeemiä voidaan sitten ratkaista eri numeerisilla menetelmillä, kuten Gaussin eliminaatiolla tai iteratiivisilla menetelmillä. Finitdifferenssimenetelmällä on laaja sovellusvalikoima esimerkiksi fysiikassa, insinööritieteissä ja rahoitusmatematiikassa erilaisten ilmiöiden mallintamisessa. Sen yksinkertaisuus ja suhteellisen helppo toteutettavuus tekevät siitä suositun valinnan moniin ongelmiin, vaikka tarkkuus riippuukin vahvasti ruudukon tiheydestä ja käytetystä approksimaatiosta.