filtriomadused

Filtri omadused on mõiste, mis kirjeldab teatud perekonna alamhulk X kohta, mida nimetatakse filtriks. Filtr X-i jaoks on F mitte-tühine perekond alamhulkide X, mis rahuldab järgmised tingimused: ∅ ei kuulu F-i; kui A ∈ F ja A ⊆ B ⊆ X, siis B ∈ F; kui A ∈ F ja B ∈ F, siis A ∩ B ∈ F. Need kolm omadust tagavad, et filtr kogub ümbritsevaid alasid ja on suunatud suuremate alamhulkade poole.

Filtrid jagunevad peamiselt kaheks tüübi: põhifiltrid (principal) ja vabad filtrid (free). Filtr on põhifilter, kui leidub A ⊆ X, A ≠ ∅, mille puhul F = { B ⊆ X : A ⊆ B }. Kui sellist A ei leita, nimetatakse filtrit vabaks. Vaba filtr on tihti seotud ideega, et filtr ei keskendu ühele konkreetsele alamhulgale, vaid "kasutab" suuremaid alamhulke X-ist.

Ultrafilter on filtr, mis on maksimaalne: iga S ⊆ X jaoks kas S kuulub F-i või X \ S kuulub F-i (vahel ei saa mõlemad kuuluda). Ultrafiltrid mängivad olulist rolli kombinatoorilises ja topoloogilises mõttes ning neid iseloomustab tugev lõppotsus kõigi alamhulkade üle.

Topoloogias kasutatakse filtreid konverentsi mõistmiseks. Kui X on topoloogiline ruum ja F on filtr X-il, siis F konvergeerub punkti x, kui iga avatud naaber U x kuulub F-i; see annab alternatiivse viisi kirjeldada punktide piire või piirväärtusi võrreldes nelknetide ja sekventsioonidega.

Filtrite omadused võimaldavad süsteemselt mõista piiride, lõpu ja konverentsi teemasid erinevates matemaatikasuunades, kaotamata üldist tähelepanu nende konstruktsioonidele ja tüüpide vahelistele suhetele.