faktoriális

Faktoriális (n!) a 1-től n-ig terjedő pozitív egész számok szorzata. N = 0 esetén 0! = 1. A definíció rekurzív: n! = n · (n − 1)!, n ≥ 1, és 0! = 1.

Kombinatorikus értelmezés: az n darab egymástól megkülönböztetett elem összes lehetséges rendezésének számát adja meg. A binomiális együttható nCk = n! / (k!(n − k)!) kapcsolatot teremt a kiválasztás és permutációk között.

Általánítások és tulajdonságok: a faktoriálist kiterjeszthetjük a Gamma-függvényre, amelynek Γ(n + 1) = n! minden egész n-re igaz; ez lehetővé teszi a faktoriális kiterjesztését nem egész és komplex számokra. A növekedés gyors, és a Stirling-képlet szerint n! közelítőleg a sqrt(2πn) (n/e)^n; ez gyakran használatos nagyléptékű számításokban.

Példák és alkalmazások: 0! = 1, 3! = 6, 5! = 120. Az e kifejezéséhez is kapcsolódik: e = ∑_{m=0}^∞ 1/m!. A faktoriális alapvető szerepet játszik a binomiális kifejezésekben, a hatványkifejezésekben és a valószínűség-számításban, ahol lehetővé teszi rendezések és gyakoriságok számolását.

Összegzés: a faktoriális a számelmélet, kombinatorika, valószínűség és analízis alapvető eszköze, amely a rendezések számításától a gamma-függvényig és a sorozatokkal kapcsolatos összefüggésekig terjed.