faktoriseringsteoremet

Faktoriseringsteoremet er et grunnleggende resultat i polynomiallgebra som gjelder polynomer over en kropp, for eksempel feltet av reelle eller komplekse tall. Teoremet sier at hvis et polynom f(x) i F[x] har en verdi f(a) = 0 for noen tall a i F (eller i en utvidet kropp), så er (x − a) en faktor i f(x). Med andre ord kan polynomet deles med (x − a) uten rest.

Omvendt følger fra restteoremet: hvis (x − a) er en faktor av f, så finnes det et polynom g(x) i F[x] slik at f(x) = (x − a) g(x). Dette gjør det mulig å faktorisere f ved å finne røtter og gjennomføre polynomdivisjon trinnvis. Faktorisering kan dermed gjøres helt eller delvis ved hjelp av røttene, inkludert gjentatte røtter som gir høyere multiplikitet.

Eksempel: La f(x) = x^3 − 6x^2 + 11x − 6 over Q. Da f(1) = 0, så (x − 1) er en faktor. Divisjon gir f(x) = (x − 1)(x^2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Dermed er f faktorert helt i lineære faktorer over Q.

Begrensninger og utvidelser: Teoremet gjelder polynomer over en kropp, men polynomet trenger ikke å splittes i lineære faktorer over et gitt felt. Faktorisering kan kreve utvidelse av feltet. Teoremet er sentralt for å løse polynomlikninger og ligger til grunn for metoder som søker røtter, blant annet ved bruk av rasjonalrotteoremet.