factoriseeritavust

Factoriseeritavus ehk polünoomi factoriseerimine kirjeldab, kas polünoom saab kirjutada kui toode mittetriviaalsetest polünoomididest, mille koefitsiendid kuuluvad samasse rõngasse või vallas. Kui selline faktoriatsioon puudub, on polünoom factoriseerimatu ehk irreduktiivne selles rõngas või vallas. Factoriseeritavus on koefitsientide struktuuriga soojalt seotud: sama polünoom võib erinevates rõngastes olla erinevalt factoriseeritav.

Tavalised kontekstid on polünoomid koefitsientidega väljendatud vallas või rõngas, näiteks Q[x], Z[x], R[x] või F_p[x]. Faktoreerimine sõltub sellest, millisesse koefientsirõngasse koefitsiendid kuuluvad. Gauss’ lemmad ja mõisted “primitiivne” vs “suletult” (primitive) polünoomid seovad Z[x] ja Q[x] vahel toimuvad faktoorimise uuringud: enamasti kui polünoom on irreduktiivne Q[x]-s, on see irreduktiivne Z[x]-s pärast koefitsiendide ühisvara eemaldamist.

Näited. Polünoom x^2+1 on Q[x]-s irreduktiivne (see ei factoriseeru mittetriviaalsete polünoomidid kõrgema astmega Q[x]-s), samas X^2+1 on C[x]-s täielikult faktoriseeritav (see jaguneb (x+i)(x-i)). Teine näide: x^2-4 factoriseerub R[x]-s kui (x-2)(x+2) ja ka Q[x]-s lahutamatu jääb mitte; see näide illustreerib, kuidas faktoriatsioon sõltub koefientsirõngast.

Faktoreerimine on oluline töövahend algebras ja numberteoorias: see leidub solvumisel polünoomülesannetes, ridade ja modulaarsete meetodite rakendamisel ning arvutatud faktoriseerimises suurtes polünoomides. Erinevad algoritmid (modulaarsed meetodid, Berlekamp, Cantor–Zassenhaus, Kaltofen) on välja töötatud, et otsida tegureid efektiivselt nii finite kui lõplikus kui ka lõpmatutes rõngastes.