erikoisgeometrioille

Erikoisgeometria on geometrian ala, jossa perusolettamukset, kuten Euclidinen parallelispostulaatti, muuttuvat tai laajenevat. Näin syntyy tiloja, joissa etäisyydet, kulmat ja suhteet voivat poiketa tavallisesta. Tutkimuksessa keskitytään aksioomien valintaan sekä niiden johdettujen ominaisuuksien todistettavuuteen, ja tarkastellaan erilaisten geometristen rakenteiden yhteyksiä muihin matematiikan osa-alueisiin.

Yleisimmät esimerkit ovat hyperbolinen geometria, elliptinen geometria ja pallogeometria sekä affini- ja projektio-geometria. Hyperbolisessa geometriassa saman pisteen kautta voidaan kulkea useita viivoja, jotka eivät leikkaa toisiaan. Elliptisessä geometrissa ei ole erillisiä paralleeleja — kaikki viivat leikkaavat toisensa. Pallogeometriaa käsitellään usein elliptisen geometrian konkreettisena esimerkkinä pallon pinnalla. Affine-geometria säilyttää suorat ja parallellisuuden, mutta ei yleistetysti etäisyyksiä tai kulmia. Projektio-geometria kuvaa tilaa ilman mittoja, keskittyen incidenssiin ja suhteisiin.

Aksioominen lähestymistapa Tutkimus perustuu aksioomien järjestelmiin, yleisesti sanoen Cayley–Kleinin projektio- tai Hilbertin aksioomista pohjautuvia kehyksiä. Lisäksi erikoisgeometria kytkeytyy differen- tiogeometriaan ja topologiaan, jolloin tarkastellaan käyrien, pintojen ja tilojen rakennetta sekä niiden muotoja.

Historiallisesti erikoisgeometria kehittyi 1800-luvulla Bolyai ja Lobachevskij sekä Gaussin töiden myötä, ja 1900-luvulla se muodosti perustan yleiselle suhteellisuusteorialle sekä differeniaaligeometrialle. Sovelluksia löytyy teoreettisesta fysiikasta, kartoituksesta, tietokonegrafiikasta sekä robotiikasta. Erikoisgeometrian periaatteita käytetään myös mallinnuksessa ja suunnittelussa, joissa tarvitaan tilojen, mittojen ja suhteiden poikkeamia tavallisesta.