ekvivalenssin

Ekvivalenssi (ekvivalenssirelaatio) on binäärinen suhde joukossa S, joka on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Näiden ominaisuuksien vuoksi alkioille voidaan määritellä ekvivalenssiluokkia, joissa jäsenet ovat keskenään ekvivalenteja.

Määritelmä voidaan esittää seuraavasti: for all a ∈ S, a ~ a; for all a,b ∈ S, if a ~ b then b ~ a; for all a,b,c ∈ S, if a ~ b and b ~ c then a ~ c.

Ekvivalenssiluokat: [a] = { x ∈ S | x ~ a }. Siluokat muodostavat partitionin joukosta S: S = ⋃ [a], ja [a] ∩ [b] = ∅, ellei [a] = [b] (toisin sanoen, jokaiselle alkiolle löytyy oma ekvivalenssiluokkansa, ja luokat eivät kasaudu päällekkäin).

K quotient- tai sovitettu rakenne: S/~ on joukko, joka koostuu kaikista ekvivalenssiluokista [a]. Luokkaa [a] vastaa projektion π(a) = [a], joka siirtää alkion joukosta S sen ekvivalenssiluokkaan.

Esimerkkejä: 1) Ekvivalenssirelaatio on aina identiteettirelaatio, jolloin a ~ b iff a = b. 2) Kongruenssi modulo n Z: a ~ b jos ja vain jos n jakaa eroa a − b. Tämä luo Z:n jakautumaan ekvivalenssiluokkiin kullekin jäänteelle mod n.

Käyttö: Ekvivalenssirelaatioita käytetään laajasti matematiikassa ja tietojenkäsittelyssä rakenteiden muodostamiseen, kuten lukujen tai alkioiden luokkien jaottaminen, sekä erilaisten kertolaskujen ja konstruointien perustana.