ekvivalensrelationer

Ekvivalensrelationer er en type binær relation på en mængde, der opfylder tre betingelser: refleksivitet, symmetri og transitivitet.

En relation R på en mængde A er refleksiv, hvis for ethvert element a i A, gælder det, at aRa. Det betyder, at hvert element er relateret til sig selv.

En relation R på en mængde A er symmetrisk, hvis for alle elementer a og b i A, gælder det, at hvis aRb, så er bRa også sand. Med andre ord, hvis a er relateret til b, så er b også relateret til a.

En relation R på en mængde A er transitiv, hvis for alle elementer a, b og c i A, gælder det, at hvis aRb og bRc, så er aRc også sand. Dette betyder, at hvis a er relateret til b, og b er relateret til c, så er a også relateret til c.

Når en relation er en ekvivalensrelation, opdeler den mængden i disjunkte delmængder kaldet ækvivalensklasser. Alle elementer inden for en ækvivalensklasse er ækvivalente med hinanden. Ækvivalensklasserne danner en partition af den oprindelige mængde, hvilket betyder, at de er ikke-tomme, parvis disjunkte, og deres forening er lig med hele mængden.

Eksempler på ekvivalensrelationer inkluderer lighed mellem tal, parallelitet mellem linjer i et plan og kongruens mellem geometriske figurer. For eksempel er relationen "er lige med" på mængden af heltal en ekvivalensrelation. Hvert heltal er lige med sig selv (refleksivitet), hvis et heltal er lige med et andet, er det andet heltal også lige med det første (symmetri), og hvis et heltal er lige med et andet, og det andet er lige med et tredje, så er det første også lige med det tredje (transitivitet). Ækvivalensklasserne her er mængderne af lige og ulige tal.