eksponentiering

Eksponentiering er operasjonen der et tall opphøyes i en potensen. Basen betegnes ofte med bokstaven a og eksponenten med b, og uttrykket skrives som a^b. For heltallige eksponenter kan potensene defineres for enhver base, men ved reelle eksponenter er det vanlig at basen er positiv (a > 0).

Specialcaser: 0 opphøyd i et positivt tall er 0; a^0 = 1 for alle a ≠ 0; 0^0 regnes ofte som udefinert eller som 1 i enkelte sammenhenger. Negative eksponenter følger regelen a^(-n) = 1 / a^n da a ≠ 0.

Lover og regler:

- Produktsloven: a^m · a^n = a^(m+n)

- Kraftregelen: (a^m)^n = a^(mn)

- Potens av et produkt: (ab)^n = a^n b^n (n vanligvis heltall eller når definert)

Rasjonelle eksponenter: Når b = p/q med q > 0 defineres a^(p/q) som (a^p)^(1/q) = q-te roten av a^p. For reelle verdier er a ≥ 0 nødvendig når q er partall. For heltall eksponenter kan man ofte bruke negative baser med riktig definisjon.

Eksponensielle funksjoner: En viktig klasse er potensfunksjoner a^x med base a > 0, og særlig den naturlige eksponenten e (ca. 2,718…). Funksjonen e^x (og generelle a^x) beskriver vekst eller forfall og har viktige egenskaper i differensiallikninger, kontinuitet og integrasjon.

Anvendelser og invers: Eksponentiering brukes i finans (rente) og naturvitenskap (vekst/forfall). Den inverse operasjonen er logaritmen, som måler hvor mange ganger man må opphøye basen for å få et gitt tall.

Beregningsaspekt: I beregninger brukes ofte effektiv eksponentiering ved kvadrering (eksponentiering med eksponenter i størrelse O(log n)) for å oppnå raske resultater.