eksponentiaalijakaumaksi

Eksponentiaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka kuvaa tapahtumien välistä aikaa, kun tapahtumat ilmenevät Poisson-prosessina. Poisson-prosessissa tapahtumien keskimääräinen esiintymistiheys on vakio, ja tapahtumat ovat riippumattomia. Eksponentiaalijakauma saa arvoja välillä nolla tai positiivinen. Sen tiheysfunktio f(x) määritellään f(x) = λe^(-λx) kaikilla x ≥ 0, missä λ (lambda) on positiivinen parametri, joka tunnetaan nopeusparametina. Tämä parametri λ edustaa odotettua tapahtumien määrää aikayksikköä kohden.

Jakauman odotusarvo on 1/λ ja varianssi on 1/λ². Odotusarvo 1/λ edustaa keskimääräistä aikaa kahden peräkkäisen tapahtuman välillä. Jakauman kertymäfunktio F(x) on F(x) = 1 - e^(-λx) kaikilla x ≥ 0, ja se kuvaa todennäköisyyttä, että ensimmäinen tapahtuma tapahtuu ajanhetkellä x tai sitä ennen. Eksponentiaalijakaumalla on "muistiton" ominaisuus, mikä tarkoittaa, että menneisyys ei vaikuta tulevaisuuden todennäköisyyksiin. Toisin sanoen, jos tietty aika on jo kulunut odottaessa tapahtumaa, todennäköisyys sen tapahtumiselle seuraavan aikayksikön sisällä on sama kuin alussa.

Eksponentiaalijakaumaa käytetään usein mallintamaan esimerkiksi laitteiden käyttöikää, asiakaspalvelupuhelujen saapumisaikoja tai radioaktiivista hajoamista. Sen yksinkertaisuus ja muistiton ominaisuus tekevät siitä hyödyllisen työkalun monissa todennäköisyys- ja tilastotieteellisissä sovelluksissa.